Question

如图，Rt△ADE是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CE交斜边AB于点F，CE 的延长线交BD于点G．
（1）试说明∠ACE=∠ABD；
（2）设∠ABC=α，∠CAE=β，试探索α、β 满足什么关系时，△ACF与△GBF是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转角可得∠CAE=∠BAD，根据旋转的性质可得Rt△ADE和Rt△ABC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，AB=AD，然后根据等腰三角形两底角相等即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，△ACF与△GBF是全等三角形时，BF=CF，再根据等边对等角的性质可得∠BCF=∠ABC，再用β表示出∠ACF，然后根据∠ACB是直角列式整理即可得解．

解答：（1）证明：∵Rt△ADE是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到，
∴旋转角=∠CAE=∠BAD，Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴AC=AE，AB=AD，
在△ACE中，∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE），
在△ABD中，∠ABD=

1

2

（180°-∠BAD），
∴∠ACE=∠ABD；

（2）解：∵△ACF≌与△GBF，∠ACE和∠ABD是对应角，∠AFC和∠GFB是对顶角，
∴BF=CF，
∴∠BCF=∠ABC=α，
又∵∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE）=

1

2

（180°-β），
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=α+

1

2

（180°-β）=90°，
整理得，2α=β．

点评：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质与判定是解题的关键．