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如图,二次函数的图象与轴交于,两点,且与轴交于点.

(1)求该抛物线的解析式,并判断的形状;

(2)在第一象限此抛物线上是否存在点,使得以

四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出点的坐标;

若不存在,说明理由.


解:根据题意,将A(,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,

   全所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.。。。。。(3分)

当x=0时,y=1.所以点C的坐标为(0,1)。

所以在△AOC中,AC==.

在△BOC中,BC==.

AB=OA+OB=.

因为AC2+BC2=.

所以△ABC是直角三角形。      …………(6分)

(2)存在。

由(1)知,AC⊥BC,

以BC为底边,则BC∥AP,如图(1)所示,

可求得直线BC的解析式为.

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的,

所以设直线AP的解析式为

将A(,0)代入直线AP的解析式求得b=,

所以直线AP的解析式为.

因为点P既在抛物线上,又在直线AP上,

所以点P的纵坐标相等,即-x2+x+1=.

解得(不合题意,舍去).

当x=时,y=.

所以点P的坐标为().

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