Question

14．如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．
在②～⑥中，与①相似的三角形的个数是3．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出BC=$\sqrt{5}$，BD=2$\sqrt{2}$，BF=EF=$\sqrt{5}$，BE=2$\sqrt{5}$，EK=HG=$\sqrt{2}$，FG=$\sqrt{10}$，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF与△ABC是否相似．

解答 解：AB=1，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，CD=1，BD=2$\sqrt{2}$，DE=2，BF=EF=$\sqrt{5}$，BE=2$\sqrt{5}$，FH=2，EK=HG=$\sqrt{2}$，FG=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BG=5，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵$\frac{DE}{AB}$=$\frac{2}{1}$，$\frac{DB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
∴△DEB∽△ABC；
∵$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，$\frac{FG}{AC}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，$\frac{BG}{BC}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∵△FBG∽△ABC；
∵$\frac{HG}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，$\frac{HF}{AC}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{FG}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}$，
∴△HGF∽△ABC；
∵$\frac{EK}{AB}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EF}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{FK}{BC}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴△EKF与△ABC不相似．
故答案为3．

点评 本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似．也考查了勾股定理．