Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB = 4，BC = 5，点P在边AC上，且，联结BP，以BP为一边作△BPQ（点B、P、Q按逆时针排列），点G是△BPQ的重心，联结BG，∠PBG =∠BCA，∠QBG =∠BAC，联结CQ并延长，交边AB于点M．设PC = x，．

（1）求的值；

（2）求y关于x的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）延长BG，交边PQ于点D，延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，先证出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再证出△BPE∽△CBA，得出，即可求出.

（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，可证出，再根据∠PBC=∠QBF，证出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，，再根据，得出，从而求出，最后根据得出，整理即可.

（1）如图2，延长BG，交边PQ于点D，

由点G是△BPQ的重心，可知PD = DQ，

延长BD至点E，使DE = BD，联结PE．

∵ PD = DQ，DE = BD，∠PDE =∠QDB，

∴ △PDE≌△QDB

∴ PE = BQ，∠PED =∠QBD．

∵ ∠QBG =∠BAC，∴ ∠PED =∠BAC．

又∵ ∠PBG =∠BCA，∴ △BPE∽△CBA．

∴

∴

（2）如图3，延长AB至点F，使BF = AB，联结QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H．

∵ ，，∴

∵∠PBQ =∠BAC+∠BCA，∠CBF =∠BAC+∠BCA，

∴ ∠PBQ =∠CBF

∴ ∠PBC =∠QBF

∴ △PBC∽△QBF

∴ ∠BCP =∠BFQ，

∵ HQ∥AC，∴ ∠BHQ =∠BAC．

∴ △FQH∽△CBA

∴

∴ ，即

∴

∵ HQ∥AC，∴ ，即

∴ y关于x的函数关系式为.