Question

如图，已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．
（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．
（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．

解答：解：（1）由题意得

b=2a-1① b+k=2(a+1)-1②

②-①得k=2
∴反比例函数的解析式为y=

1

x

．

（2）由

y=2x-1 y= 1 x

，
解得

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

．
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）

（3）OA=

12+12

=

2

，OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP₁得P₁（

2

，0），
由OA=OP₂得P₂（-

2

，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②当OA为底时，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．

点评：本题考查的知识点为：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解．