Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．
(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　   　；
(2)若射线EF经过点C，则AE的长是　   　．

Answer 1

6；2或5。

(1)如图1，过E点作EG⊥DF，∴EG＝AD＝。

∵E是AB的中点，AB＝6，∴DG＝AE＝3。
∴∠DEG＝60°（由三角函数定义可得）。
∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°。
∴tan60°＝，解得，GF＝3。
∵EG⊥DF，∠DEG＝∠FEG，∴EG是DF的中垂线。∴DF＝2 GF＝6。
(2)如图2，过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝。

∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BCH＝60°。
∴CH＝，BC＝。
设AE＝x，则BE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE＝，
在Rt△EFM中，EF＝，
∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BEC。
∵∠DEF＝∠B＝120°，∴△EDF∽△BCE。
∴，即，解得x＝2或5。