Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

（I）求证：AE=EF；
（Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；
（2）成立，在AB上取BH=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF．

解答：（1）证明：取AB的中点H，连接EH；
∵四边形ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；

（2）解：成立．
证明：在AB上取BH=BE，连接EH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BH，
∴AH=EC，
∵∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=135°，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF．

点评：此题考查学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，难度适中．