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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠B=90°,BC=4AD.AB为⊙O的直径,OA=2,CD与⊙O相切于点E,求CD的长.
考点:切线的性质,勾股定理,梯形
专题:计算题
分析:由∠A=∠B=90°,利用切线的性质得到AD与BC都与圆O相切,再由CD与圆相切,利用切线长定理得到AD=DE,CE=CB,可得出CD=DE+CE=AD+BC,设AD=x,得到BC=4AD=4x,确定出CD为5x,作出梯形的高DF,如图所示,在直角三角形CDF中,表示出三角形三边,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求出CD的长.
解答:解:∵AB为⊙O的直径,∠A=∠B=90°,
∴AD、BC均为⊙O的切线,
又CD与⊙O相切于点E,
∴DE=DA,CE=CB,
∴CD=AD+BC,
设AD=x,则BC=4AD=4x,CD=5x,
如图所示,作梯形的高DF,
在Rt△CDF中,DF=AB=2OA=4,CF=CB-BF=CB-AD=3x,CD=5x,
由勾股定理得:DF2+FC2=CD2,得42+(3x)2=(5x)2
解得:x1=1,x2=-1(舍去),
∴CD=5x=5.
点评:此题考查了切线的性质,切线长定理,勾股定理,以及方程的思想,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
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