Question

17．对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列命题正确的有3个．
①若c是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若a+b+c＞0，a-b+c＜0，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；
④若b²+4ac＜0，则方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
⑤若ac＜0且b=0，则方程两个实数根一定互为相反数．

Answer 1

分析 利用反例对①②进行判断；利用平方差公式得到（a+c）²-b²＜0，则b²-4ac＞（a-c）²，然后根据根的判别式的意义可对③进行判断；由于b²+4ac＜0，而b²≥0，则4ac＜0，所以b²-4ac＞0，然后根据根的判别式的意义可对④进行判断；先由ac＜0判断方程一定有两个不相等的实数根，然后根据根与系数的关系对⑤进行判断．

解答 解：若c是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，当c=0时，则不一定有ac+b+1=0，所以①错误；
当a=-1，b=0，c=0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，所以②错误；
若a+b+c＞0，a-b+c＜0，则（a+c+b）（a+c-b）＜0，（a+c）²-b²＜0，b²-4ac＞（a-c）²，所以b²-4ac＞0，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，所以③正确；
因为b²+4ac＜0，而b²≥0，则4ac＜0，所以b²-4ac＞0，所以方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；
因为ac＜0，则b²-4ac＞0，所以方程一定有两个不相等的实数根，而b=0，方程两根之和为0，所以方程两个实数根一定互为相反数，所以⑤正确．
故答案为3．．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．