分析 (1)令x=0,求出抛物线与y轴的交点,抛物线解析式化为顶点式,求出点P坐标;
(2)①设抛物线向上平移k个单位,则Q′(0,1+k).用勾股定理建立方程求出k即可.
②根据AF=AN,用勾股定理,(x-1)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=(x2-2x+$\frac{5}{4}$)+y2-y=y2,求出AF=y,再求出直线Q′F的解析式,即可.
解答 解:(1)由题意P(1,0),Q(0,1)
则PQ=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$.
(2)①设抛物线向上平移k个单位,则Q′(0,1+k).
∵F(1,$\frac{1}{2}$),O(0,0),FQ′=OQ′,
∴1+($\frac{1}{2}$+k)2=(1+k)2,
解得k=$\frac{1}{4}$,
∴y=x2-2x+$\frac{5}{4}$,
②设点A(x0,y0),则y0=x02-2x0+$\frac{5}{4}$,
过点A作x轴的垂线,与直线Q′F相交于点N,则可设N(x0,n),
∴AN=y0-n,其中y0>n,
连接FP,
∵F(1,$\frac{1}{2}$),P(1,0),
∴FP⊥x轴,
∴FP∥AN,
∴∠ANF=∠PFN,
连接PK,则直线Q′F是线段PK的垂直平分线,
∴FP=FK,有∠PFN=∠AFN,
∴∠ANF=∠AFN,则AF=AN,
根据勾股定理,得,AF2=(x0-1)2+(y0-$\frac{1}{2}$)2,
∴(x0-1)2+(y0-$\frac{1}{2}$)2=(x02-2x0+$\frac{5}{4}$)+y02-y0=y02,
∴AF=y0,
∴y0=y0-n,
∴n=0,
∴N(x0,0),
设直线Q′F的解析式为y=kx+b,
则$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{k+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$,
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$,
由点N在直线Q′F上,得,0=-$\frac{3}{4}$x0+$\frac{5}{4}$,
∴x0=$\frac{5}{3}$,
将x0=$\frac{5}{3}$代入y0=x02-2x0+$\frac{5}{4}$,
∴y0=$\frac{25}{36}$,
∴A($\frac{5}{3}$,$\frac{25}{36}$)
点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求解析式,线段的垂直平分线的判定和性质,解本题的关键是灵活运用勾股定理.
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