Question

17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{1}{3}$，AD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）根据cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出∠C=45°，根据AD=1，求出CD，根据sinB=$\frac{1}{3}$，AD=1，求出AB，根据勾股定理求出BD，得到答案；
（2）求出DE，根据正切的概念求出tan∠DAE的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠C=45°，
在△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，∠C=45°，
∴DC=AD=1，
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，AD=1，
∴AB=3，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BC=BD+DC=2$\sqrt{2}$+1．
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴DE=CE-CD=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的概念和勾股定理是解题的关键，注意要熟记特殊角的三角函数值．