Question

如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延长线上一点，BE=

10

3

．判断直线DE与半圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：直线DE与半圆O相切．连接OD，作OF⊥CD于点F，作DG⊥OE于点G．通过勾股定理求得OF的长，由已知可得到四边形OFDG是矩形，从而便可求得DG，GE的长，再通过勾股定理判定CD⊥DE，从而证明得到直线DE与半圆O相切．

解答：解：直线DE与半圆O相切．（1分）
证法一：
连接OD，作OF⊥CD于点F．
∵CD=6，
∴DF=

1

2

CD=3．（2分）
∵OE=OB+BE=5+

10

3

=

25

3

．（3分）
∴

DF

OD

=

3

5

，

OD

OE

=

5

25 3

=

3

5

，
∴

DF

OD

=

OD

OE

．（6分）
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．（7分）
∴△DOF∽△OED，（8分）
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与半圆O相切．（10分）

证法二：连接OD，作OF⊥CD于点F，作DG⊥OE于点G．
∵CD=6，
∴DF=

1

2

CD=3．
在Rt△ODF中，OF=

OD2-DF2

=

52-32

=4，（3分）
∵CD∥AB，DG⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OFDG是矩形，
∴DG=OF=4，OG=DF=3．
∵OE=OB+BE=5+

10

3

=

25

3

，GE=OE-OG=

25

3

-3=

16

3

，（5分）
在Rt△DGE中，DE=

DG2+GE2

=

42+( 16 3 )2

=

20

3

．
∵(

20

3

)2+52=(

25

3

)2，
∴OD²+DE²=OE²，（8分）
∴CD⊥DE．
∴直线DE与半圆O相切．（10分）

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．