如图①.函数y=$\frac{k}{x}$的图象与矩形OABC的边AB交于点E.点A在x轴的正半轴.点C在y轴的正半轴.点B的坐标是.其中m＞0.点D在线段CO上.CD=4.设点P在该函数图象上.且它的横坐标为m．(1)当k=16时.则BE=$\frac{1}{4}$m+6,的条件下.若△BDE恰好是以BD为腰的等腰三角形.求m的值,(3)是否存在点P.使得以PD为直径的圆与矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．如图①，函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象与矩形OABC的边AB交于点E，点A在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴，点B的坐标是（4，$\frac{1}{4}$m+10），其中m＞0，点D在线段CO上，CD=4，设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m．
（1）当k=16时，则BE=$\frac{1}{4}$m+6（用含m的代数式表示）；
（2）如图②，在（1）的条件下，若△BDE恰好是以BD为腰的等腰三角形，求m的值；
（3）是否存在点P，使得以PD为直径的圆与矩形OABC的一边（除边OC外）相切于点Q，且tan∠PDQ=$\frac{1}{2}$，若存在，求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据点B的坐标可以求得点E的坐标，由矩形的性质可知：AB⊥x轴，所以点B与点E纵坐标的差就是BE的长；
（2）如图②，先利用勾股定理求BD=4$\sqrt{2}$，再分两种情况讨论：①当BD=BE时，②当BD=DE时，列关于m的方程可得结论；
（3）因为除边OC不能相切外，分三情况进行讨论：
①当圆与AB相切时，如图③，作辅助线，根据tan∠PDQ=$\frac{1}{2}$，得QH=$\frac{1}{2}$DG=2，从而可得PH=1，则P的横坐标为3，根据DM=OD-OM，列式可得m的值，从而得结论；
②当圆与OA相切时，如图④，此时切点Q与A重合，同理△AOD∽△PGA，则$\frac{PA}{AD}=\frac{PG}{OA}=\frac{AG}{OD}$=$\frac{1}{2}$，得2（m-4）=$\frac{1}{4}$m+6，可得m的值，从而得结论；
③当圆与BC相切时，如图⑤，
连接PQ，过P作PG⊥BC于G，同理可得：CG=CB=4，所以此种情况不符合题意．

解答解：（1）当k=16时，y=$\frac{16}{x}$，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB⊥OA，即AB⊥x轴，
当x=4时，y=$\frac{16}{4}$=4，
∴E（4，4），
∵点B的坐标是（4，$\frac{1}{4}$m+10），
∴BE=$\frac{1}{4}$m+10-4=$\frac{1}{4}$m+6，
故答案为：$\frac{1}{4}$m+6；
（2）如图②，Rt△CDB中，CD=4，BC=4，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
分两种情况：
①当BD=BE时，4$\sqrt{2}$=$\frac{1}{4}$m+6，
m=16$\sqrt{2}$-24，
②当BD=DE时，
∵CD=4，OC=AB=$\frac{1}{4}$m+10，
∴D（0，$\frac{1}{4}$m+6），
∵E（4，4），
∴（4$\sqrt{2}$）²=4²+（$\frac{1}{4}$m+6-4）²，
m²+16m-192=0，
（m+24）（m-8）=0，
m₁=-24，m₂=8，
∵m＞0，
∴m=8，
综上所述，若△BDE恰好是以BD为腰的等腰三角形，m的值是16$\sqrt{2}$-24或8；
（3）分三种情况：
①当圆与AB相切时，如图③，
连接PQ，过P作MH∥OA，交OC于M，AB于H，则MH⊥OC，MH⊥AB，
过D作DG⊥AB于G，取DP的中点F，连接QF，并延长交OC于N，
∴AG=$\frac{1}{4}$m+6，
∵PD为⊙F的直径，
∴∠DQP=90°，
易得△DQG∽△QPH，
∴$\frac{DQ}{PQ}=\frac{DG}{QH}=\frac{GQ}{PH}$，
∵tan∠PDQ=$\frac{1}{2}$=$\frac{PQ}{DQ}$，
∴$\frac{DG}{QH}=\frac{GQ}{PH}$=2，
∵DG=4，
∴QH=2，
由题意得：P（m，$\frac{k}{m}$），
∵⊙F与AB相切于Q，则FQ⊥AB，
∵NQ∥MH∥DG，DF=FP，
∴DN=NM，QH=QG=2，
∴PH=1，
∴m=MP=4-1=3，
∵DM=OD-OM，
4=$\frac{1}{4}$m+6-$\frac{k}{m}$，
k=$\frac{33}{4}$；
②当圆与OA相切时，如图④，此时切点Q与A重合，
连接PA，过P作PG⊥x轴于G，
同理可得：△AOD∽△PGA，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{PG}{OA}=\frac{AG}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=4，OD=$\frac{1}{4}$m+6，AG=m-4，
∴$\frac{PG}{4}=\frac{m-4}{\frac{1}{4}m+6}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=2，2（m-4）=$\frac{1}{4}$m+6，
m=8，
∴P（8，2），
∴k=8×2=16；
③当圆与BC相切时，如图⑤，
连接PQ，过P作PG⊥BC于G，
同理可得：QG=CQ=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴CG=4，
∵CB=4，
所以此种情况不符合题意，
综上所述，存在点P，此时k的值为$\frac{33}{4}$或16．

点评本题是反比例函数的综合题，考查了矩形的性质、函数上点的坐标的特征、三角形相似的性质和判定，三角函数，并采用了分情况讨论的思想，本题能利用圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，利用相似的判定证明△DQG∽△QPH是关键．

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