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    （本小题满分10分）
    如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
    ⑴求证：ME = MF．
    ⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
    ⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．
    ⑷根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．

    （1）证明：过点Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，连接ＡＭ
    ∵Ｍ是正方形ＡＢＣＤ的对称中心，∴Ｍ是正方形ＡＢＣＤ对角线的交点，
    ∴ＡＭ平分∠ＢＡＤ，∴ＭＨ＝ＭＧ
    在正方形ＡＢＣＤ中，∠Ａ=90°，∵∠MHA=∠MGA=90°∴∠ＨＭＧ=90°，
    在正方形ＱＭＮＰ，∠ＥＭＦ=90°∴∠EMF=∠HMG.∴∠EMH=∠FMG，∵∠MHE=∠MGF，
    ∴△MHE≌△MGF，∴ME=MF.---------3分
    (2) ME=MF。证明：过点M作MH⊥AＢ于H，MG⊥AＤ于G，连接AM，
    ∵M是菱形ABCD的对称中心，∴M是菱形ABCD对角线的交点，∴AM平分∠BAD，∴MH=MG，∵BC∥AD，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠M=∠B，∴∠M+∠BAD=180°
    又∠MHA=∠MGF=90°，在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，∴∠EMF=∠HMG.
    ∴∠EMH=∠FMG,∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF。----------6分
    （3）ME=mMF.证明：过点Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，
    在矩形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｂ=90°∴∠EＭF＝∠Ｂ=90°，
    又∵∠ＭＨＡ＝∠ＭＧＡ＝９０°，在四边形HMGA中，∴∠ＨＭＧ＝９０°，
    ∴∠ＥＭＦ＝∠ＨＭＧ，∴∠ＥＭＨ＝∠ＦＭＧ．∵∠ＭＨＥ＝∠ＭＧＦ，
    ∴△ＭＨＥ∽△ＭＧＦ，∴，
    又∵Ｍ是矩形ＡＢＣＤ的对称中心，∴M是矩形ＡＢＣＤ对角线的中点
    ∴ＭＧ∥ＢＣ，∴ＭＧ＝ＢＣ．同理可得ＭＨ＝ＡＢ，
    ∵AB = mBC∴ＭＥ＝ｍＭＦ。-----------------9分
    （４）平行四边形ＡＢＣＤ和平行四边形ＱＭＮＰ中，∠Ｍ＝∠Ｂ，ＡＢ＝ｍＢＤ，
    Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的对称中心，ＭＮ交ＡＢ于Ｆ，ＡＤ交ＱＭ于Ｅ。
    则ＭＥ＝ｍＭＦ．--------------10分

    解析

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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    （1）求口袋中红球的个数；
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    【小题2】（2）以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1
    与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大
    后的△A1B1C1；（所画△A1B1C1与△ABC在点P同侧）；
    【小题3】（3）经过A1、B1、C1三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平
    移得到？请说明理由。

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    科目：初中数学 来源：2012届河南省商丘市九年级上学期期末考试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分10分）
    在图1至图3中，直线MN与线段AB相交
    于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

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    的数量关系和位置关系；
    【小题2】（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到
    图2，其中AO = OB．
    求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
    【小题3】（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到
    图3，求的值．

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