Question

11．如图，已知正方形OABC的边长为3，点D在BC上，点E在AB上，且BD=1．
（1）点D的坐标是（2，3）；
（2）若∠ODE=90°，求点E的坐标；
（3）设一次函数y=kx-2k的图象与x轴交于点P，与正方形OABC的边交于点Q，若△OPQ为等腰三角形，求该一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （!）由正方形OABC的边长为3，得点D的纵坐标为3，BD=1，得点D的横坐标为2；
（2）通过△OCD∽△DBE得到对应边的比相等，求得BE的长，得到AE的长，求出点E的坐标；
（3）根据一次函数y=kx-2k得到点P的坐标，再由△POQ为等腰三角形，点Q在四边形OABC的边上，求出点Q不同位置的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵正方形OABC的边长为3，
∴D的纵坐标为3，
∵BD=1，
∴CD=2，
∴D（2，3），
故答案为：D（2，3）；

（2）如图1，∵∠ODE=90°∠OCB=90°，
∴∠ODC+∠BDE=∠ODC=∠COD=90°，
∴∠COD=∠BDE，
∴△OCD∽△DBE，
∴$\frac{OC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$∴AE=$\frac{7}{3}$，
∴E（3，$\frac{7}{3}$）；

（3）如图2，∵直线y=kx-2k与x轴交与点P，
∴点P的坐标为（2，0），
∴OP=2，
∵点Q在四边形OABC的边上，△POQ为等腰三角形，
当OQ=OP=2时，点Q在边OC上，
∴点Q的坐标（0，2），
∴2=-2k，
∴k=-1，
当PQ″=OP=2时，点Q″在AB边上，
AQ″=$\sqrt{{（PQ″）}^{2}{-AP}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴点Q″的坐标（3，$\sqrt{3}$），
∴$\sqrt{3}$=3k-2k，
∴k=$\sqrt{3}$，
当OQ′=PQ′时，点Q在BC边上，
∴点Q的坐标（1，3），
∴3=k-2k，
∴k=-3，
综上所述：所求一次函数的解析式为：y=-x+2或 y=-3x+6或 y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的求法，相似三角形的判定和性质以及待定系数法一次函数解析式的综合应用，要注意的是（3）中，要根据Q点的不同位置进行分类求解．