Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上， CE=CA，

AB，CE的延长线交于点F．

（1）求证：CE与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OE，OC，通过三角形求得证得∠OEC=∠OAC，从而证得OE⊥CF，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得OF，解直角三角形求得tanF＝OEEF＝34．进而求得AC=6，从而求得△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理求得BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质求得DB即可．

解：（1）连接OE，OC．

在△OEC与△OAC中，

∴△OEC≌△OAC．

∴∠OEC=∠OAC．

∵∠OAC=90°，

∴∠OEC=90°．

∴OE⊥CF于E．

∴CF与⊙O相切．

（2）解：连接AD．

∵∠OEC=90°，

∴∠OEF=90°．

∵⊙O的半径为3，

∴OE=OA=3．

在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，

∴，

．

在Rt△FAC中，∠FAC=90°，，

∴．

∵AB为直径，

∴AB=6=AC，∠ADB=90°．

∴BD=．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴．

∴BD=．