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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.

(1)求二次函数的关系式;
(2)点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?并说明理由;
(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:把B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c得 ,解得

所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3


(2)

解:S有最大值.理由如下:

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴M(1,4),

设直线BM的解析式为y=kx+n,

把B(3,0),M(1,4)代入得 ,解得

∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6,

∵OD=m,

∴P(m,﹣2m+6)(1≤m<3),

∴S= m(﹣2m+6)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ 2+

∵1≤m<3,

∴当m= 时,S有最大值,最大值为


(3)

解:存在.

∠PDC不可能为90°;

当∠DPC=90°时,则PD=OC=3,即﹣2m+6=3,解得m= ,此时P点坐标为( ,3),

当∠PCD=90°时,则PC2+CD2=PD2,即m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2

整理得m2+6m﹣9=0,解得m1=﹣3﹣3 (舍去),m2=﹣3+3

当m=﹣3+3 时,y=﹣2m+6=6﹣6 +6=12﹣6 ,此时P点坐标为(﹣3+3 ,12﹣6 ),

综上所述,当P点坐标为( ,3)或(﹣3+3 ,12﹣6 )时,△PCD为直角三角形


【解析】(1)把B点和C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;(2)把(1)中的一般式配成顶点式可得到M(1,4),设直线BM的解析式为y=kx+n,再利用待定系数法求出直线BM的解析式,则P(m,﹣2m+6)(1≤m<3),于是根据三角形面积公式得到S=﹣m2+3m,然后根据二次函数的性质解决问题;(3)讨论:∠PDC不可能为90°;当∠DPC=90°时,易得﹣2m+6=3,解方程求出m即可得到此时P点坐标;当∠PCD=90°时,利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2
然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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月信息消费额分组统计表

组别

消费额(元)

A

10≤x<100

B

100≤x<200

C

20≤x<300

D

300≤x<400

E

x≥400

请结合图表中相关数据解答下列问题:

(1)这次接受调查的有户;
(2)在扇形统计图中,“E”所对应的圆心角的度数是
(3)请你补全频数直方图;
(4)若该社区有2000户住户,请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少?

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(2)求y关于x的函数解析式;
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