【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.
(1)求二次函数的关系式;
(2)点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?并说明理由;
(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:把B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c得 ,解得 ,
所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
(2)
解:S有最大值.理由如下:
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴M(1,4),
设直线BM的解析式为y=kx+n,
把B(3,0),M(1,4)代入得 ,解得 ,
∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6,
∵OD=m,
∴P(m,﹣2m+6)(1≤m<3),
∴S= m(﹣2m+6)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ )2+ ,
∵1≤m<3,
∴当m= 时,S有最大值,最大值为
(3)
解:存在.
∠PDC不可能为90°;
当∠DPC=90°时,则PD=OC=3,即﹣2m+6=3,解得m= ,此时P点坐标为( ,3),
当∠PCD=90°时,则PC2+CD2=PD2,即m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2,
整理得m2+6m﹣9=0,解得m1=﹣3﹣3 (舍去),m2=﹣3+3 ,
当m=﹣3+3 时,y=﹣2m+6=6﹣6 +6=12﹣6 ,此时P点坐标为(﹣3+3 ,12﹣6 ),
综上所述,当P点坐标为( ,3)或(﹣3+3 ,12﹣6 )时,△PCD为直角三角形
【解析】(1)把B点和C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;(2)把(1)中的一般式配成顶点式可得到M(1,4),设直线BM的解析式为y=kx+n,再利用待定系数法求出直线BM的解析式,则P(m,﹣2m+6)(1≤m<3),于是根据三角形面积公式得到S=﹣m2+3m,然后根据二次函数的性质解决问题;(3)讨论:∠PDC不可能为90°;当∠DPC=90°时,易得﹣2m+6=3,解方程求出m即可得到此时P点坐标;当∠PCD=90°时,利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2 ,
然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形,△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点,△DEF绕点D旋转,且边DF,DE始终分别交△ABC的边AB,AC于点H,G,图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称.连结HH′,HG,GG′,H′G′,其中HH′、GG′分别交BC于点I,J.
(1)求证:△DHB∽△GDC;
(2)设CG=x,四边形HH′G′G的面积为y,
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.
②求当x为何值时,y的值最大,最大值为多少?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
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【题目】某商场购进甲、乙两种服装,每件甲种服装比每件乙种服装贵25元,该商场用2000元购进甲种服装,用750元购进乙种服装,所购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍.
(1)分别求每件甲种服装和每件乙种服装的进价;
(2)若每件甲种服装售价130元,将购进的两种服装全部售出后,使得所获利润不少于750元,问每件乙种服装售价至少是多少元?
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【题目】在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分.某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图.已知A,B两组户数频数直方图的高度比为1:5.
月信息消费额分组统计表
组别 | 消费额(元) |
A | 10≤x<100 |
B | 100≤x<200 |
C | 20≤x<300 |
D | 300≤x<400 |
E | x≥400 |
请结合图表中相关数据解答下列问题:
(1)这次接受调查的有户;
(2)在扇形统计图中,“E”所对应的圆心角的度数是;
(3)请你补全频数直方图;
(4)若该社区有2000户住户,请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少?
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【题目】如图,在多边形ABCDE中,∠A=∠AED=∠D=90°,AB=5,AE=2,ED=3,过点E作EF∥CB交AB于点F,FB=1,过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O,交折线BCD于点Q,设AP=x,POOQ=y.
(1)①延长BC交ED于点M,则MD= , DC=;
(2)求y关于x的函数解析式;
(3)当a≤x≤ (a>0)时,9a≤y≤6b,求a,b的值;
(4)当1≤y≤3时,请直接写出x的取值范围.
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【题目】如图1,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A′处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处.如图2.
(1)求证:EG=CH;
(2)已知AF= ,求AD和AB的长.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与⊙A相交于点F.若 的长为 ,则图中阴影部分的面积为 .
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【题目】如图,已知动点A在反比例函数y= (x>0)图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA到点D,使AD= AB,延长BA到点E,使AE= AC,直线DE分别交x、y轴于点P、Q,当 = 时,则△ACE与△ADB面积之和等于 .
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