Question

设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一个公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．

Answer 1

考点：一元二次方程的解,勾股定理的逆定理

专题：证明题

分析：设两个方程的公共根是x₀，代入两方程求出公共根，再把求出的根代入方程就可以确定a，b，c的关系，然后判断三角形的形状．

解答：证明：因为题目中的两个二次三项式有一个公因式，
所以二次方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0必有公共根，设公共根为x₀，
则

x02+2ax0+b2=0   ① x02+2cx0-b2=0    ②

①+②得：
2x₀²+2（a+c）x₀=0
2x₀[x₀+（a+c）]=0
∴x₀=0或x₀=-（a+c）
若x₀=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，
所以公共根x₀=-（a+c）．把x₀=-（a+c）代入①式得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理得a²=b²+c²
所以△ABC为直角三角形．

点评：本题考查的是一元二次方程的公共解，一般是设方程的公共解，求出公共解后代入方程，确定a，b，c的关系，然后判断三角形的形状．