Question

11．如图1，△ABC中，AB=AC，∠C=60°，D、E分别在BC、AC上，CD=AE．
（1）如图1，连BE、AD，求证：AE²=EF•EB；
（2）如图2，过E点作EG∥CF交AD于G点，求证：BF=DG．
（3）如图3，若BD=2CD，求证：BF⊥CF．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABE≌△ACD，得∠AEB=∠ADC，AD=BE，再证明△AEF∽△ADC，得比例式可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建等边三角形FHD，再证明△ABF∽△BDH，得$\frac{AF}{BH}=\frac{AB}{BD}$，由平行线分线段成比例定理得：$\frac{AF}{FG}=\frac{AC}{EC}$，从而得出BF=DG；
（3）如图3，证明△BFD∽△ABD，得$\frac{BD}{AB}=\frac{FD}{BF}=\frac{2}{3}$，设FD=2x，BF=3x，作辅助线，构建平行线，由平行线分线段成比例式定理得：$\frac{AG}{GF}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，取BF的中点M，连接AM，证明∠AME=30°，根据△ABM≌△CAF，得∠AME=∠DFC=30°，相加可得：∠BFC=90°，从而得垂直．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABC等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，AD=BE，
∵∠DAC=∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EF}{DC}$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，
∴AE²=EF•EB；

（2）如图2，在BF上取一点H，使FH=FD，
∵∠BFD=∠ABE+∠BAF=∠DAC+∠BAF=∠BAC=60°，
∴△FHD是等边三角形，
∴∠FHD=60°，
∴∠HBD+∠HDB=60°，
∵∠HBD+∠ABE=60°，
∴∠ABE=∠HDB，
∵∠AFB=180°-60°=120°，
∠BHD=120°，
∴∠BHD=∠AFB，
∴△ABF∽△BDH，
∴$\frac{AF}{BH}=\frac{AB}{BD}$，
∵EG∥CF，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AC}{EC}$，
∵AC=AB，BD=EC，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AF}{BH}$，
∴FG=BH，
∴FG+FD=BH+FH，
即BF=DG；

（3）如图3，∵BD=2DC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，
由（1）得：∠BFD=∠ABD=60°，
∵∠ADB=∠FDB，
∴△BFD∽△ABD，
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{FD}{BD}$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{FD}{BF}=\frac{2}{3}$，
设FD=2x，BF=3x，
过E作EG∥CF交AD于G点，
由（2）得：BF=DG=3x，
∴FG=x，
∵EG∥FC，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，
∴AG=$\frac{1}{2}$x，
∴AF=1.5x，
∴AF=$\frac{1}{2}$BF，
取BF的中点M，连接AM，则AF=BM=FM，
∴∠AME=∠FAM，
∵∠BFD=∠AMF+∠FAM=60°，
∴∠AME=30°，
∵AB=AC，∠ABE=∠CAF，
∴△ABM≌△CAF，
∴∠AMB=∠AFC，
∴∠AME=∠DFC=30°，
∴∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+30°=90°，
∴BF⊥FC．

点评 本题是三角形的综合题，考查了全等、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，解题的关键在于作出相关辅助线，利用角和边的关系进行解答．