Question

25、若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．

Answer 1

分析：因为求n除以3所得的余数，所以设n=3k（k是一个非负整数），然后将其代入n+3和n+7，并由n+3与n+7都是质数对其进行论证．

解答：解：∵n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．
①若余数为0，即n=3k（k是一个非负整数，下同），则n+3=3k+3=3（k+1），所以3|n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．
②若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3（k+3），故3|n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．
所以n除以3所得的余数只能为1．

点评：本题考查了关于质数与合数及带余数除法的题目．一个整数除以m后，余数可能为0，1，…，m-1，共m个，将整数按除以m所得的余数分类，可以分成m类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．