在四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1.旋转角为θ.连接AC1.BD1.AC1与BD1交于点P．(1)如图1.若四边形ABCD是正方形．①求证:△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．(2)如图2.若四边形ABCD是菱形.AC=5.BD=7.设AC1=kBD1．判断AC1与BD1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁，AC₁与BD₁交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC₁≌△BOD₁．
②请直接写出AC₁ 与BD₁的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC₁=kBD₁．判断AC₁与BD₁的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD₁，设AC₁=kBD₁．请直接写出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）①如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，则OC₁=OD₁，利用等角的补角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，然后根据“SAS”可证明△AOC₁≌△BOD₁；
②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，则∠APB=90°所以AC₁⊥BD₁；
（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=

AC，OD=OB=

BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，则OC₁=OA，OD₁=OB，利用等角的补角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，加上

OC1

OD1

，根据相似三角形的判定方法得到△AOC₁∽△BOD₁，得到∠OAC₁=∠OBD₁，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，则∠APB=90°，所以AC₁⊥BD₁；然后根据相似比得到

AC1

BD1

，所以k=

；
（3）与（2）一样可证明△AOC₁∽△BOD₁，则

AC1

BD1

，所以k=

；根据旋转的性质得OD₁=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD₁=OB=OD，于是可判断△BDD₁为直角三角形，根据勾股定理得BD₁²+DD₁²=BD²=100，所以（2AC₁）²+DD₁²=100，于是有AC₁²+（kDD₁）²=25．

解答：（1）①证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OD₁，∠AOC₁=∠BOD₁=90°+∠AOD₁，
在△AOC₁和△BOD₁中

OA=OB

∠AOC1=∠BOD1

OC1=OD1

，
∴△AOC₁≌△BOD₁（SAS）；

②AC₁⊥BD₁；

（2）AC₁⊥BD₁．
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=

AC，OD=OB=

BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OA，OD₁=OB，∠AOC₁=∠BOD₁，
∴

OC1

OD1

，
∴△AOC₁∽△BOD₁，
∴∠OAC₁=∠OBD₁，

又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，
∴∠APB=90°
∴AC₁⊥BD₁；
∵△AOC₁∽△BOD₁，
∴

AC1

BD1

，
∴k=

；

（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC₁∽△BOD₁，
∴

AC1

BD1

，
∴k=

；
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OD₁=OD，
而OD=OB，
∴OD₁=OB=OD，
∴△BDD₁为直角三角形，
在Rt△BDD₁中，
BD₁²+DD₁²=BD²=100，
∴（2AC₁）²+DD₁²=100，
∴AC₁²+（kDD₁）²=25．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质、旋转的性质；会运用三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质．

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