Question

如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．
（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是______；
（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且∠APC=∠BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）四边形EFGH的形状是菱形；

（2）第一问的结论仍成立，即四边形EFGH为菱形，理由为：
连接AD，BC，如图2所示，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，

AP=CP ∠APD=∠CPB PD=BP

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=BC，
在△ACD中，E为AC中点，H为CD中点，
∴EH为△ACD的中位线，
∴EH=

1

2

AD，EH∥AD，
同理PG=

1

2

AD，PG∥AD，HG=

1

2

AC，
∴EH=PG，EH∥PG，且EH=HG，
四边形EFGH为菱形；




（3）四边形EFGH为正方形，理由为：
连接AD，BC，如图3所示，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，

AP=CP ∠APD=∠CPB PD=BP

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=BC，∠DAP=∠BCP，
在△ACD中，E为AC中点，H为CD中点，
∴EH为△ACD的中位线，
∴EH=

1

2

AD，EH∥AD，
同理PG=

1

2

FG，PG∥AD，HG=

1

2

AC，
∴EH=PG，EH∥PG，且EH=HG，
四边形EFGH为菱形，
又∠CMN=∠AMP，∠DAP=∠BCP，
∴△CMN∽△AMP，又∠APC=90°，
∴∠CNM=∠APC=90°，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：正方形