Question

如图，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．
（1）求证：CE=AF；
（2）在线段AB上取一点N，使∠ENA=∠ACE，EN交BC于点M，连接AM．请你判断∠B与∠MAF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AC=CE，
又∵点F是点C关于AE的对称点，
∴AF=AC，
∴AF=CE；

（2）解：∠B=∠MAF．理由如下：
∵AC=CE，∠DCE=∠ACD，
∴AD=DE，
又∵AD是△ABC的高，
∴DC垂直平分AE，
∴AM=ME，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AC=AF，
∴∠4=∠ACD，
∵∠ENA=∠ACE，∠DCE=∠ACD=∠ACE，
∴∠ACD=∠ENA，
∴∠4=∠ENA，
∵∠4=∠1+∠MAF，∠ENA=∠3+∠B，
∴∠B=∠MAF．
分析：（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根据等腰三角形的判定方法得到△ACE为等腰三角形，则AC=CE，由点F是点C关于AE的对称点，根据对称的性质得到AD垂直平分FC，则AF=AC，则AF=CE；
（2）由（1）得到CD垂直平分AE，则AM=ME，得到∠1=∠2，对顶角相等得到∠2=∠3，则∠1=∠3，由AC=AF得∠4=∠ACD，根据∠ENA=∠ACE，∠DCE=∠ACD=∠ACE，∠ACD=∠ENA，于是有∠4=∠ENA，然后根据三角形外角性质有∠4=∠1+∠MAF，∠ENA=∠3+∠B，即可得到∠B=∠MAF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，且它们所夹的边相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质以及对称的性质．