如图.?ABCD在平面直角坐标系中.AD=6.若OA.OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根.且OA＞OB．(1)求AB的长,(2)若动点P从点B出发.以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动.过P作x轴的垂线交x轴于点E.若S△PBE=$\frac{1}{9}$S△ABO.求此时点P的坐标,中.若动点P到达点A后沿AD方向以原速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

7．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求AB的长；
（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO，求此时点P的坐标；
（3）在（2）中，若动点P到达点A后沿AD方向以原速度继续向点D运动，PE与DC边交于点F，如图2，是否存在这样的t值，使得S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）先解一元二次方程x²-7x+12=0求得OA、OB的长，再运用勾股定理即可求得AB的长；
（2）先由（1）中OA、OB的长得出A、B两点的坐标，再根据平行四边形的性质得到C、D两点的坐标，然后利用待定系数法即可求出CD的所在直线的函数关系式；
（3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的长，再根据S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO，列出关于t的方程，解方程即可；
（4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根据△PDF∽△ECF，得出PF=$\frac{44-4t}{3}$，然后由S_△PBF=$\frac{1}{9}$S_△ABO列出关于t的方程，解方程即可

解答解：（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，
∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理，得AB=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A点坐标为（0，4），B点的坐标为（-3，0），
∵?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，
∴D点坐标为（6，4），BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴C点坐标为（3，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，则
6k+b=4，3k+b=0，
k=$\frac{4}{3}$，b=-4，
故直线CD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-4；
（3）∵PE∥OA，
∴△PBE∽△ABO，
∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
∴BE=$\frac{3}{5}$t，PE=$\frac{4}{5}$t，
∵S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得t=±$\frac{5}{3}$（负值舍去），
∴t=$\frac{5}{3}$，
∴BE=1，PE=$\frac{4}{3}$
∴OE=OB-BE=3-1=2，
∴此时点P的坐标为（-2，$\frac{4}{3}$）；

（4）存在这样的t值，能够使得S_△PBF=$\frac{1}{9}$S_△ABO．理由如下：
如图2．∵BA+AP=t，
∴AP=t-5，
∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
∵PD∥CE，
∴△PDF∽△ECF，
∴PD：EC=PF：EF，
∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
（11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
∴PF=$\frac{44-4t}{3}$．
∵S_△PBF=$\frac{1}{9}$S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$PF×BE=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{44-4t}{3}$×（t-2）=$\frac{2}{3}$，
整理，得t²-13t+23=0，
解得t=$\frac{13+\sqrt{77}}{2}$或t=$\frac{13-\sqrt{77}}{2}$（舍）
即：t=$\frac{13+\sqrt{77}}{2}$．

点评此题是四边形综合题，涉及到平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定及动点问题、存在性问题等知识，本题中用含t的代数式正确表示出三角形的底与高是解题的关键．

练习册系列答案

课课练与单元测试系列答案

世纪金榜小博士单元期末一卷通系列答案

单元测试AB卷台海出版社系列答案

黄冈新思维培优考王单元加期末卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

17．已知4（x-1）²=25，则x=$\frac{7}{2}$或-$\frac{3}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

18．

如图①，在△ABC和△ADE中，AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE．
（1）若AB=AC，
①求证：BD=CE；
②在BD、CE上截取DG=$\frac{1}{4}$BD，EH=$\frac{1}{4}$CE，连接AG、AH得到图②，猜想AG与AH的数量关系、∠GAH与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图③若AB=$\frac{3}{2}$AC，其它条件不变，猜想AG与AH的数量关系、∠GAH与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

15．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，那么d-6ab+c=-6．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（-2）的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

12．在数-$\frac{5}{6}$，+2$\frac{1}{2}$，4.5，-17，0，$\frac{π}{2}$，5 中，整数有-17，0，5；正分数有2$\frac{1}{2}$，4.5．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

19．代数式-$\frac{a{b}^{2}}{3}$的系数是-$\frac{1}{3}$．