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(2010•广州)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.

【答案】分析:(1)连接OA,OP与AB的交点为F,则△OAF为直角三角形,且OA=1,OF=,借助勾股定理可求得AF的长;
(2)要判断∠ACB是否为定值,只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值,由于⊙D是△ABC的内切圆,所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线,因此只要∠DAE+∠DBA是定值,那么CAB+∠ABC就是定值,而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角,这个值等于∠AOB值的一半;
(3)由题可知S=S△ABD+S△ACD+S△BCD=DE(AB+AC+BC),又因为=4,所以AB+AC+BC=8DE,由于DH=DG=DE,所以在Rt△CDH中,CH=DH=DE,同理可得CG=DE,又由于AG=AE,BE=BH,所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2DE+2,可得8DE=2DE+2,解得:DE=,代入AB+AC+BC=8DE,即可求得周长为
解答:解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.
∵弦AB垂直平分线段OP,
∴OF=OP=,AF=BF,
在Rt△OAF中,
∵AF===
∴AB=2AF=

(2)∠ACB是定值.
理由:连接AD、BD,
由(1),OF=,AF=
∴tan∠AOP==
∴∠AOP=60°,
∴∠AOB=120°,
∵点D为△ABC的内心,
∴∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,
∵∠DAE+∠DBA=∠AOD+∠DOB=∠AOB=60°,
∴∠CAB+∠CBA=120°,
∴∠ACB=60°.

(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接OD.
连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC,
∴S=S△ABD+S△ACD+S△BCD
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC)•DE=l•DE,
=4
=4
∴l=8DE,
∵CG,CH是⊙D的切线,
∴∠GCD=∠ACB=30°,
∴在Rt△CGD中,CG===DE,
∴CH=CG=DE,
又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,
解得DE=
∴△ABC的周长为
点评:本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起,需要考生从前往后按顺序解题,前面问题为后面问题的解决提供思路,是一道难度较大的综合题.
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(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

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