Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，以CB为直径的⊙O交CA于点E，过点E作AB的平行线交CB于点F，交⊙O于点G，若⊙O的半径为5，EG=8．
（1）求BF的长；
（2）若点D是AB的中点，连接DE．
①证明：DE是⊙O的切线；
②求直角梯形BDEF的腰（DE）长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，由于EG∥AB，∠ABC=90°，EG=8，易证OF⊥EG，再利用垂径定理可知EF=FG；在Rt△OEF中利用勾股定理可求OF，即可求BF；
（2）①由于BC是直径，那么∠BEC=∠AEB=90°，而D是AB中点，则DE=DB，于是∠DEB=∠DBE，同理OB=OD，也有∠OEB=∠OBE；由于∠ABC=∠DBE+∠OBE=90°，所以有∠DEB+∠OEB=90°，即DE是⊙O的切线；
②过点D作DH⊥EG于H，易证四边形HDBF是矩形，设DE=x，由于∠ABC=90°，则AB是⊙O的切线；由①知DE是⊙O的切线，于是可得BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x；在Rt△DEH中，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解即可求DE．

解答：（1）解：连接OE．（1分）
∵EG∥AB，∠ABC=90°，EG=8，
∴OF⊥EG（2分）
∴EF=FG=4（3分）
在Rt△OEF中由勾股定理得OF=

OE2-EF2

=

52-42

=3，
∴BF=OB-OF=5-3=2（4分）

（2）①证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°，（5分）
∵点D是AB的中点，
∴ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，（6分）
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵∠OED=∠OEB+∠DEB=∠DBE+∠OBE=∠DBC=90°，
∴DE是⊙O的切线；（7分）
②解：过点D作DH⊥EG于H，设DE=x，（8分）
∵∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切线，
由①知DE是⊙O的切线，
∴BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x，（9分）
∴EH=4-x，
在Rt△DEH中，∠DHE=90°，由勾股定理得DE²=EH²+DH²，
∴x²=（4-x）²+2²，
解得x=

5

2

，即DE的长为

5

2

．（10分）

点评：本题利用了垂径定理、勾股定理、切线的判定、直角三角形斜边上中线的性质、直径所对的圆周角等于90°、矩形的判定和性质．