Question

10．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点D，连结BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形；
（2）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD=HB．，依据三角形的面积公式可知S_△ABE=S_△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可；
（3）先依据△ABC与△ABD的面积相等可求得点D的纵坐标，然后利用抛物线的解析式可求得点D的横坐标，最后结合偏等积三角形的定义进行判断即可．

解答 解：（1）如图1所示，取AC的中点D，连结BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．


（2）如图2所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．

∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°，AB=AC，AD=AE．
∴∠BAH=∠DAC．
在△ABH和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠DAC}\\{∠H=∠ADC=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACD．
∴CD=HB．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BH，S_△CDA=$\frac{1}{2}$AD•DC，AE=AD，CD=BH，
∴S_△ABE=S_△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．

（3）∵S_△ABC=S_△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x=0代入得：y=-5，\
∴CO=5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为-5，时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5=5，整理得：x²-3x-20=0，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{89}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{89}}{2}$．
∴点D的坐标为（$\frac{3+\sqrt{89}}{2}$，5）或（$\frac{3-\sqrt{89}}{2}$，5）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了三角形的面积公式、正方形的性质、全等三角形的判定，证得△ABH≌△ACD是解答问题（2）的关键，利用三角形的面积公式求得点D的纵坐标是解答问题（3）的关键．