Question

10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，以AE边作等腰Rt△AEF，∠AEF=90°，AE=EF，FG⊥BC于G．
（1）如图1，求证：GF=CG；
（2）如图2，AF交CD于点M，EF交CD于点N，当BE=3，DM=2时，求线段NC的长．

Answer 1

分析 （1）利用互余先判断出，∠BAE=∠FEG，从而得出△ABE≌△EGF，最后用线段的和差即可；
（2）先判断出，$\frac{AB}{HF}=\frac{BE}{HN}$和，$\frac{AD}{HF}=\frac{DM}{HM}$，从而找出HN与HM的关系，设出HN，再用线段的和差表示出CN，EC，最后判断出△ECN∽△FHN，求出HN即可．

解答 解：（1）四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵FG⊥BC，
∴∠EGF=90°，
在△ABE和△EGF中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EGF=90°}\\{∠BAE=∠GEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EGF，
∴GF=BE，EG=AB，
∵AB=BC，
∴BC=EG，
∴BE=CG，
∴GF=CG，
（2）如图2，过F作FH⊥CD，则∠FHC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠FHC=∠BCD，
∴FH∥BC∥AD，
∴∠HFN=∠GEF，
由（1）知，∠GEF=∠BAE，
∴∠BAE=∠HFN，
∵∠FHN=∠ABE=90°，
∴△ABE∽△FHN，
∴$\frac{AB}{HF}=\frac{BE}{HN}$
∵AD∥HF，
∴$\frac{AD}{HF}=\frac{DM}{HM}$，
∵AB=AD，
∴$\frac{BE}{HN}=\frac{DM}{HM}$，
∵BE=3，DM=2，
∴$\frac{3}{HN}=\frac{2}{HM}$，
设HN=x，则HM=$\frac{2}{3}$x，
∵∠HCG=∠CGF=∠CHF=90°，
∴四边形CGFH是矩形，
∵CG=FG，
∴矩形CGFH是正方形，
∴HF=CH=CG=BE=3，
∴CN=3-x，
∴BC=CD=CH+HM+DM=3+$\frac{2}{3}$x+2=5+$\frac{2}{3}$x，
∴EC=BC-BE=5+$\frac{2}{3}$x-3=$\frac{2}{3}$x+2，
∵∠CNE=∠HNF，∠ECN=∠FHN=90°，
∴△ECN∽△FHN，
∴$\frac{EC}{FH}=\frac{CN}{HN}$，
∴$\frac{\frac{2}{3}x+2}{3}=\frac{3-x}{x}$，
∴x=$\frac{3}{2}$或x=-9（舍），
∴NC=3-x=$\frac{3}{2}$．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线判断出，△ABE∽△FHN，难点是作出辅助线并找出HN与HM的关系．