Question

17．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＜0）的图象交于点B（-2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3-3n，1）是该反比例函数图象上一点．
（1）求m的值；
（2）若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．

Answer 1

分析 （1）由点B（-2，n）、D（3-3n，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＜0）的图象上可得-2n=3-3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC、延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE=FE=4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．

解答 解：（1）∵点B（-2，n）、D（3-3n，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＜0）的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2n=m}\\{3-3n=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m=-6}\end{array}\right.$．

（2）由（1）知反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{x}$，
∵n=3，
∴点B（-2，3）、D（-6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，

在△DBE和△FBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠BED=∠BEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE=4，
∴点F（2，1），
将点B（-2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+2．

点评 本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定与性质是解题的关键．