Question

15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．
（1）①点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（3，0），AC的长为3$\sqrt{5}$；
②求∠BAC的正弦值
（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H
①点H坐标为（$\frac{6}{5}$，-$\frac{12}{5}$），点H不在抛物线对称轴上（“在”或“不在”）
②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H²+C′H²=33时，MN的长度为$\frac{\sqrt{66}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①令x=0和y=0可求得B、A与C的坐标，利用勾股定理求AC的长；
②如图1，作辅助线，构建直角△ABD，利用面积法求BD=2$\sqrt{5}$，利用勾股定理求AB的长，根据三角函数的定义可得结论；
（2）①利用勾股定理列方程求出H的坐标，横坐标是$\frac{1}{2}$，在抛物线的坐标轴上，如果不是，则不在；
②如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△APE≌△AC'F和△PAB′≌△C'AB'，得∠AB'P=∠AB'C'，再证明△AMN∽△AC'B'，则$\frac{MN}{B'C'}=\frac{AM}{AC'}$=$\frac{AM}{AP}$，证P、E、M、A四点共圆，
得∠AMP=∠AEP=90°，所以△AMP是等腰直角三角形，则MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B′C′，根据已知可得出结论．

解答 解：（1）①当x=0时，y=6，
∴A（0，6），
∴OA=6，
当y=0时，-x²+x+6=0，
（x+2）（x-3）=0，
x=-2或3，
∵点B在点C的左侧，
∴B（-2，0），C（3，0），
∴OC=3，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$；
故答案为：（-2，0），（3，0），3$\sqrt{5}$；
②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$AC•BD，
即$\frac{1}{2}$×5×6=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{5}$×BD，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，
由折叠得：AE=AO=AF=6，∠E=∠AOB=90°，∠F=∠AOC=90°，
∠EAB=∠BAO，∠OAC=∠CAF，
∴∠EAF=2∠BAO+2∠OAC=2（∠BAO+∠OAC）=2∠BAC，
由（1）知：sin∠BAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且∠BAC为锐角，
∴∠BAC=45°，
∴∠EAF=∠E=∠F=90°，
∴四边形AEHF是正方形，
∴EH=FH=6，
设H（x，y），则OG=x，
∴BG=2+x，CG=3-x，
∵EB=OB=2，FC=OC=3，
∴BH=6-2=4，CH=6-3=3，
由勾股定理得：4²-（2+x）²=3²-（3-x）²，
x=$\frac{6}{5}$，
∴GH=$\sqrt{{3}^{2}-（3-\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴H（$\frac{6}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；
∴点H不在抛物线对称轴上；
故答案为：（$\frac{6}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；不在；
②如图3，延长B'E至P，使PE=C'F，连接AP，
∵AE=AF，∠AEP=∠AFH=90°，
∴△APE≌△AC'F，
∴AP=AC'，∠PAE=∠C'AF，
由旋转得：∠B′AC′=45°，
∴∠EAB′+∠C'AF=45°，
∴∠PAE+∠EAB′=45°，
∴∠PAB'=∠B'AC'=45°，
∵AB′=AB′，
∴△PAB′≌△C'AB'，
∴∠AB'P=∠AB'C'，
∵∠FEB'=∠B'AC'=45°，
∴∠EMB'=∠AC'B'=∠AMN，
∵∠MAN=∠B'AC'，
∴△AMN∽△AC'B'，
∴$\frac{MN}{B'C'}=\frac{AM}{AC'}$=$\frac{AM}{AP}$，
连接PM，
∵∠PAM=45°，∠PEM=90°+45°=135°，
∴∠PAM+∠PEM=180，
∴P、E、M、A四点共圆，
∴∠AMP=∠AEP=90°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴$\frac{AM}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{MN}{B'C'}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B′C′，
∵B′H²+C′H²=33=B'C'²，
∴B'C'=$\sqrt{33}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{33}$=$\frac{\sqrt{66}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{66}}{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了坐标轴的交点问题、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、正方形的性质和判定、三角形相似的性质和判定等知识，当已知条件有平方和时，注意运用勾股定理的知识，构建直角三角形解决；本题是函数与几何变换的综合，有难度．