Question

已知：抛物线经过点A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求三角形BDE的面积；
（3）作∠BDE的平分线交线段BE于点F，求BF：FE的值．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）D、E的坐标易求得，而△BDE的面积无法直接求得，可利用面积割补法来求解，过D作x轴的垂线DM，交BE于N，B、E的坐标已知，即可求出直线BE的解析式，将D点横坐标代入直线BE的解析式中，可求得N点的坐标，从而得到DN的长，以DN为底、OE为高，即可求得△BDE的面积；（也可理解为△BDN、△BNE的面积和）
（3）过QF⊥BE于Q，根据Q、B、F三点坐标，可求出∠DBP=∠OBE=45°，那么∠DBE=90°，则QF∥BD，已知DF是∠BDE的角平分线，可得到∠BDF=∠FDQ=∠DFQ，故DQ=QF，那么BF：EF=DQ：QE=QF：QE，即BF：EF=BD：DE，即∠BDE的正弦值，由此得解．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，有：

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

∴y=-x²+2x+3；（2分）

（2）易知D（1，4），E（3，0），
作DM⊥AE于M，交BE于N，
BE解析式为y=-x+3，
∴M（1，0），N（1，2），
∴DN=2，OE=3
S_△BDE=S_△DNB+S_△DNE=

1

2

DN•OM+

1

2

DN•ME
=

1

2

DN•OE=

1

2

×2×3=3（4分）
∴△BDE面积为3；

（3）作DP⊥y轴于P，作QF⊥BE交DE于Q；
∵DP=PB=1，OB=OE=3，
∴∠PBD=∠EBO=45°，
∴∠EBD=90°
∴BD∥FQ，BD=

2

，DE=2

5

，
∴∠BDF=∠DFQ，

BF

EF

=

DQ

QE

（5分）
又∵DF为∠BDE平分线，
∴∠BDF=∠EDF，
∴∠EDF=∠DFQ，
∴QD=QF，
∴

BF

EF

=

FQ

QE

（6分）
∵sin∠DEB=

FQ

QE

=

BD

DE

=

2

2 5

=

10

10

，
∴

BF

EF

=

10

10

．（7分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、角平分线和平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，综合性强，难度较大．