Question

11．在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED的平分线交DC于点F，若AB=6，点F恰为DC的中点，则BC=3+3$\sqrt{2}$（结果保留根号）

Answer 1

分析 先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的相等关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．

解答 解：延长EF和BC，交于点G，如图所示：
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=6，
∴等腰直角△ABE中，BE=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=6$\sqrt{2}$，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∴$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}$=1，
∴CG=DE，
设CG=DE=x，则AD=6+x=BC，
∵BG=BC+CG，
∴6$\sqrt{2}$=6+x+x，
解得：x=3$\sqrt{2}$-3
∴BC=6+（3$\sqrt{2}$-3）=3+3$\sqrt{2}$；
故答案为：3+3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．