Question

在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，过A点的直线与抛物线的另一交点为D（m，3），与y轴相交于点E，点A的坐标为（-1，0），tan∠DAB=

1

2

，点P是抛物线上的一点，且点P在第一象限．
（1）求直线AD和抛物线的解析式；
（2）若PC⊥CB，求△PCB的周长；
（3）若S_△PBC=S_△BOC，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：探究型

分析：（1）作DF⊥AB于F，由tan∠DAB=

DF

AF

=

1

2

，D（m，3）可求出AF的长，再根据A（-1，0）可得出AF的长，故可得出D点坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，同理，利用待定系数法可求出抛物线y=ax²+bx+3的解析式；
（2）作PG⊥y轴于G，根据BC两点的坐标求出OC，OB的长，当PC⊥CB时，由相似三角形的判定定理得出△PGC∽△COB，故CG=2PG，设P（m，-

1

2

m²+

5

2

m+3），则CG=2m，故-

1

2

m²+

5

2

m+3=2m+3，由此可得出m的值，故可得出P点坐标，根据勾股定理可得出PC，BC，PB的长，故可得出三角形的周长；
（3）过P作直线l∥BC交y轴于H，根据S_△PBC=S_△BOC，且两三角形同底可得CH=OC=3，故可得出H点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，故可得出直线PH的解析式，联立直线PH与抛物线的解析式即可得出P点坐标．

解答：解：（1）作DF⊥AB于F．
∵tan∠DAB=

DF

AF

=

1

2

，D（m，3）．
∴AF=6，DF=3，
∵A（-1，0），
∴OF=6-1=5，D（5，3）
设直线AD为y=kx+b
则

-k+b=0 5k+b=3

，解得

k= 1 2 b= 1 2

，
∴直线AD的解析式y=

1

2

x+

1

2

．
∵抛物线y=ax²+bx+3过A，D两点．
∴

a-b+3=0 25a+5b+3=3

，解得

a=- 1 2 b= 5 2

∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x+3；

（2）作PG⊥y轴于G．
∵由（1）知，抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x+3，
∴易求C（0，3），B（6，0），
∴OC=3，OB=6
当PC⊥CB时，
∵∠GPC+∠PCG=90°，∠OCB+∠PCG=90°，
∴∠GPC=∠OCB，
∵∠PGC=∠COF=90°，
∴△PGC∽△COB．
∴CG=2PG                              
设P（m，-

1

2

m²+

5

2

m+3），则CG=2m．
∴-

1

2

m²+

5

2

m+3=2m+3，
解得m=0（舍），或m=1，
∴P（1，5），
∴PC=

5

，BC=

32+62

=3

5

，
PB=

(6-1)2+52

=5

2

，
∴△PCB的周长=

5

+3

5

+5

2

=4

5

+5

2

；

（3）过P作直线l∥BC交y轴于H．
∵S_△PBC=S_△BOC，且两三角形同底，
∵OC=3，
∴CH=OC=3，
∴H（0，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（6，0），C（0，3），
∴

6k+b=0 b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-

1

2

x+3，
∴直线PH的解析式为y=-

1

2

x+6，
∵

y=- 1 2 x2+ 5 2 x+3 y=- 1 2 x+6

，
∴-

1

2

x²+

5

2

x+3=-

1

2

x+6，
化简得，x²-6x+6=0，解得x=3±

3

∴P点坐标为（3-

3

，

9+ 3

2

），（3+

3

，

9- 3

2

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用到定系数法求一次函数及二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等相关知识，难度较大．