Question

6．矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点M从点A出发，沿AB方向在线段AB上以2个单位长度每秒的速度运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．
（1）如图1，当⊙M与BD相切时，
①求t的值；
②求△CDN的面积．
（2）如图2，若点N在矩形ABCD内部，且当∠CND=90°时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）①判断出△BME∽△BDA，得出比例式建立方程求解即可得出结论；
②先求出MN，CD边上的高，用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先判断出△DFN∽△NGC，得出比例式求出时间t，最后，求出MN，判断是否满足题意．

解答 （1）①如图1，设⊙M切BD于点E，连接ME，则ME⊥BD，
∴∠BME=∠BAD=90°，
∵∠MBE=∠DBA，
∴△BME∽△BDA，
∴$\frac{BM}{BD}=\frac{ME}{DA}$，
即$\frac{12-2t}{\sqrt{81+144}}=\frac{2t}{9}$，
解之，得t=$\frac{9}{4}$
②∵MN=AM=2t=$\frac{9}{2}$，
∴CD边上的高为AD-MN=9-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴S_△CDN=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{9}{2}$=27．

（2）如图2，过点N作直线FG⊥MN，分别交AD、BC于点F、G．
则FN=2t，GN=12-2t，DF=CG=9-2t，
∵∠CND=90°，
∴∠DNF+∠CNG=90°，
∵∠DNF+∠FDN=90°，
∴∠FDN=∠CNG，
∵∠DFN=∠NGC=90°
∴△DFN∽△NGC，
∴$\frac{DF}{NG}=\frac{FN}{GC}$，
∴$\frac{9-2t}{12-2t}=\frac{2t}{9-2t}$，
∴8t²-60t+81=0，
∴t=$\frac{15±3\sqrt{7}}{4}$，
当t=$\frac{15+3\sqrt{7}}{4}$时，MN=2t=$\frac{15+3\sqrt{7}}{2}$＞9，
∴点N在矩形ABCD外，不合题意，舍去；
当t=$\frac{15-3\sqrt{7}}{4}$时，MN=2t=$\frac{15-3\sqrt{7}}{2}$＜9，
∴点N在矩形ABCD内，符合题意，
∴t=$\frac{15-3\sqrt{7}}{4}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解（1）的关键是判断出△BME∽△BDA，解（2）的关键是判断出△DFN∽△NGC，是一道中等难度的题目．