Question

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm²；
（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据梯形的面积公式即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等DQ=PC建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况①利用等腰三角形的三线合一的性质得出QE=$\frac{1}{2}$QD，再用矩形的对边相等建立方程求解即可；
②利用勾股定理建立方程即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得∵AQ=tcm，BP=2t cm，
∴当四边形ABPQ的面积为18cm²时
∴$\frac{1}{2}$（t+2t）×6=18，
解得t=2；
所以，t=2s时，四边形ABPQ的面积为18cm²；
（2）由题意得∵AQ=tcm，BP=2t cm，
∵AD=8cm，BC=10cm
∴DQ=（8-t）cm，PC=（10-2t）cm，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴DQ=PC
∴8-t=10-2t，
解得t=2；
综上所述，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2；

（3）①如图①，若PQ=PD，过P作PE⊥AD于E，
则QD=8-t，
∴QE=$\frac{1}{2}$QD=$\frac{1}{2}$（8-t），
∴AE=AQ+QE=t+$\frac{1}{2}$（8-t）=$\frac{1}{2}$（8+t），
∵易证四边形ABPE是矩形，
∴AE=BP，
∴$\frac{1}{2}$（8+t）=2t，
解得t=$\frac{8}{3}$
②如图②，若QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，
则QF=6，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=$\frac{7}{4}$
综上所述，当t=$\frac{8}{3}$或$\frac{7}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了梯形的面积公式，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解不同的关键是用方程的思想解决问题．