Question

【题目】如图，点P是圆O直径CA延长线上的一点，PB切圆O于点B，点D是圆上的一点，连接AB，AD，BD，CD，PB=BC．

（1）求证：OP=2OC；

（2）若OC=5，sin∠DCA=，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4+3

【解析】

（1）连接OB，由切线的性质和等腰三角形的性质得出得出∠P=30°，再由直角三角形的性质即可得出结论；

（2）作AH⊥BD于H，由圆周角定理和三角函数得出AC=10，CD=8，AD=6，由直角三角形的性质得出AB=AC=5，由三角函数得出AH=3，BH=4，求出DH=AH=3，即可得出结果．

（1）证明：如图1，连接OB，

∵PB切圆O于点B，

∴∠OBP=90°，

∴∠P+∠POB=90°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，

∵PB=BC，

∴∠P=∠OCB，

∴∠P+∠POB=∠P+2∠OCB=3∠P=90°，

∴∠P=30°，

∴OP=2OB=2OC；

（2）解：如图2，作AH⊥BD于H，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，∠ABC=90°

∵OC=5，sin∠DCA=，

∴AC=10，CD=8，AD=6，

∵∠OCB=30°，

∴AB=AC=5，

∵sin∠ABD=sin∠DCA=，

∴AH=3，BH=4，

∵∠ADH=∠OCB=30°，

∴DH=AH=3，

∴BD=BH+DH=4+3．