分析 (1)先判断出△ABE≌△CBG,得到∠BAE=∠BCG,再进行简单的代换即可;
(2)①先判断出点A,B,H,C,D在以AC为直径的同一个圆上,得到DH最大就是大正方形的对角线,即可;
②先由AE恒垂直CG于H,判断出当AE垂直于BE时,DH最短.如图所示,得到点A,E,F(H)共线,再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边,得出∠BAE=30°,再利用三角函数和勾股定理计算即可.
解答 解:(1)是,理由如下:
由旋转知,∠ABE=CBG,
在正方形ABCD,BGFE中,
AB=BC,BE=BG,∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°,
∴△ABE≌△CBG,
∴∠BAE=∠BCG,
∵∠APB=∠CPH,∠ABC+∠BAE+∠APB=180°
∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°,
∴∠AHC=∠ABC=90°,
(2)①∵∠AHC=90°
∴点H在以AC为直径的圆上,
由(1)有,∠ABC=∠ADC=90°,
∴点B,D也在以AC为直径的圆上,
∴点A,B,H,C,D在以AC为直径的同一个圆上,
在正方形ABCD中,∠BCD=90°,
∴BD也是这个圆的直径,
∴当H与点B重合时,DH最大为2$\sqrt{2}$,
②解:(1)是,理由如下:
由旋转知,∠ABE=CBG,
在正方形ABCD,BGFE中,
AB=BC,BE=BG,∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°,
∴△ABE≌△CBG,
∴∠BAE=∠BCG,
∵∠APB=∠CPH,∠ABC+∠BAE+∠APB=180°
∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°,
∴∠AHC=∠ABC=90°,
(3)①∵∠AHC=90°
∴点H在以AC为直径的圆上,
由(1)有,∠ABC=∠ADC=90°,
∴点B,D也在以AC为直径的圆上,
∴点A,B,H,C,D在以AC为直径的同一个圆上,
在正方形ABCD中,∠BCD=90°,
∴BD也是这个圆的直径,
∴当H与点B重合时,DH最大为2$\sqrt{2}$,
∵点A,B,H,C,D五点共圆,
∴当∠DAH最小时,DH最小,
∵∠BAD=90°,
∴∠BAE最大时,DH最小,
∴当AE⊥BE时,∠BAE最大是30°,
∵AE恒垂直CG于H,
∴当AE垂直于BE时,DH最短.
如图,
∵AE⊥BE,
∴∠AEB=90°,
∵AB=2,BE=1,
∴AE=$\sqrt{3}$,∠BAE=30°,
∵点A,E,F共线,
∴AF=AE+EF=$\sqrt{3}$+1,
作FM⊥AD,
FM∥AB,
∴∠AFM=∠BAE=30°,
∴FM=AFcos∠AFM=($\sqrt{3}$+1)cos30°=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
AM=AFsin∠AFM=($\sqrt{3}$+1)sin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,
∴DM=AD-AM=2-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$,
在Rt△DMF中,根据勾股定理得,DH=DF=$\sqrt{D{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$.
即:DH的最小值为$\sqrt{6}$.
点评 此题是四边形综合题,主要考查了全等三角形的性质和判定,旋转过程中极值的确定方法,还用到了三角函数的意义,解本题的关键是作出图形.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 32π | B. | 32π+24 | C. | 32π+48 | D. | 8π+24 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3.036×103 | B. | 3.036×1011 | C. | 3036×108 | D. | 0.3036×1012 |
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