已知:在四边形ABCD中.AB=1.E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA上的点.且AE=BF=CG=DH．设四边形EFGH的面积为S.AE=x．(1)如图1.当四边形ABCD为正方形时.①求S关于x的函数解析式.并在图2中画出函数的草图,②当x为何值时.S=?(2)如图3.当四边形ABCD为菱形.且∠A=30°时.四边形EFGH的面积能否等于?若能.求出相应x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：在四边形ABCD中，AB=1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设四边形EFGH的面积为S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，
①求S关于x的函数解析式，并在图2中画出函数的草图；
②当x为何值时，S=

？
（2）如图3，当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，四边形EFGH的面积能否等于

？若能，求出相应x的值；若不能，请说明理由．

【答案】分析：（1）①当四边形ABCD是正方形时，不难得出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，因此四边形HEFG也是个正方形．直角三角形AHE中，AE=x，AH=1-x，那么可根据勾股定理求出HE²的值，即为S的值．由此可得出S，x的函数关系式．
②可将S=

代入①的函数关系式中，即可得出x的值．
（2）与（1）类似不难得出△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，因此只需求出△AEH和△EFB的面积，就可以用S_?ABCD-（S_△AEH+S_△EFB）×2来求出四边形EFGH的面积．
可分别过H，F作AB的垂线，根据∠A的度数来求出这两条高，进而可根据上面分析的步骤求出S，x的函数关系式，然后将S=

代入函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解则说明不存在这样的情况，如果有解，那么得出的x的值就是所求的值．
解答：解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
则S=HE²=x²+（1-x）²=2x²-2x+1=2（x-

）²+

．
②根据题意，得2（x-

）²+

．
解方程，得x=

，x=

．
即得x=

，x=

．时，S=

．

（2）四边形EFGH的面积可以等于

．
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N，
∵AE=x，则AH=1-x，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=

AH=

（1-x）．
同理得FN=

BF=

x．
∴S_△AEH=

AE•HM=

x（1-x），S_△EBF=

EB•FN=

x（1-x）．
又∵S_ABCD=

，
∴四边形EFGH的面积S=

-4

x（1-x）=x²-x+

．
∴令x²-x+

，
解得x=

，x=

．
即x=

，x=

时，四边形EFGH的面积等于

．
点评：本题主要考查了正方形和平行四边形的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识点．运用数形结合的数学思想方法是解题的基本思路．

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