Question

（2012•工业园区一模）如图1，A（-1，0）、B（0，2），以AB为边作正方形ABCD，则D点的坐标（

-3

，

1

）．
（1）如图2，如果将正方形ABCD沿AB翻折后得到正方形ABEF，抛物线y=ax²+ax+b经过点D、F，求抛物线的解析式：
（2）如图3，P为BD延长线上一动点，过A、B、P三点作⊙O'，连接AP，在⊙O'上另有一点Q，且AQ=AP，AQ交BD于点G，连接BQ．
下列结论：①BP+BQ的值不变；②

BQ

AQ

=

BG

AG

，是否成立，并就你的判断加以说明．

Answer 1

分析：过点D作DM⊥x轴，则可证明△ABO≌△DAM，继而可得出点D的坐标；
（1）作FG⊥x轴，垂足为点G，然后证明RT△ABO≌RT△AGF，从而得出点F的坐标，继而利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）连接PQ，利用圆的知识，在同圆中，等弧所对的圆周角相等，可得出∠AQP=∠ABP=45°，然后证明△APD≌△AQB，得出PD=QB，这样可判断出①，证明△GAP∽△QGB，得出

BQ

AP

=

BG

AG

，结合AQ=AP，可得出结论②正确．

解答：解：

过点D作DM⊥x轴，
在△ABO和△DAM中，

AB=DA ∠DAM=∠ABO ∠DMA=∠AOB

，
故△ABO≌△DAM，
故DM=AO，AM=OB，
故可得点D的坐标为（-3，1）．
（1）作FG⊥x轴，垂足为点G，在RT△ABO和RT△AGF中，AB=AF，
∵∠BAO=∠FAG=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠FAG=∠ABO，
∴RT△ABO≌RT△AGF，
∴AG=OB=2，FG=AO=1，
∴点F坐标为（1，-1），
又∵抛物线y=ax²+ax+b经过点D、F，
∴

1=9a-3a+b -1=a+a+b

，
解得：

a= 1 2 b=-2

，
故所求的抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
（2）连接PQ，
易得：△APD≌△AQB，
∴∠PAQ=90°，
∴PQ为直径
则∠AQP=∠ABP=45°，
∵AQ=AP，
∴∠APQ=∠AQP=45°，
∴∠PAQ=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠PAD+∠DAG=∠QAB+∠DAG，
∴∠PAD=∠QAB，
又∵AP=AQ，∠APD=∠AQB，
∴△APD≌△AQB，
∴PD=QB；
①BP+BQ=BD+2PD，BD是定值，PD在变化，
∴BP+BQ的值在变化，即BP+BQ不变是不成立的．
②在△GAP和△GBQ中，∵∠PGA=∠QGB，∠GPA=∠GQB，
∴△GAP∽△GBQ，
∴

BQ

AP

=

BG

AG

，
∵AQ=AP，
∴

BQ

AQ

=

BG

AG

，
∴

BQ

AQ

=

BG

AG

成立；
综上可得只有②

BQ

AQ

=

BG

AG

成立．

点评：此题属于二次函数的综合题，综合考察了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及及待定系数法求二次函数解析式的知识，难度较大，注意辅助线的作出比较关键．