Question

5．已知一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如图1所示：
（1）填空：AB=5，BC=$5\sqrt{2}$；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转，①当AC与x轴平行时，则点A的坐标是（0，-2）．
②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式．
③在②的条件，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？
（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，点C′为直线AB上的一点，请直接写出△ABC扫过的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；
（2）①因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；
②过点C作CF⊥OA与点F，证明△AOB≌△CFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据AC∥BD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答．
③利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案；
（3）利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2\\;}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
故答案为：5；$5\sqrt{2}$．
（2）①如图1，

∵B（0，3），
∴OB=3，
∵AB=5，
∴AO=AB-BO=5-3=2，
∴A（0，-2）．
当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），
故答案为：（0，-2），（0，8）．
②如图2，

过点C作CF⊥OA与点F，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CAF=∠OBA，
在△AOB和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFA=∠AOB=90°}\\{∠CAF=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CFA（AAS）；
∴OA=CF=4，OB=AF=3，
∴OF=7，CF=4，
∴C（-7，4）
∵A（-4，0）
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-7k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
则直线AC解析式为y=$-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到△BDE，
∴∠ABD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD=∠CAB=90°，
∴AC∥BD，
∴设直线BD的解析式为y=$-\frac{4}{3}$x+b₁，
把B（0，3）代入解析式的：b₁=3，
∴直线BD的解析式为y=$-\frac{4}{3}$x+3；
③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积，
所以可得：S=$\frac{90π（5\sqrt{2}）^{2}}{360}-\frac{90π×{5}^{2}}{360}=\frac{25}{4}π$；
（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：
将C点的纵坐标代入一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3，求得C′的横坐标为$\frac{4}{3}$，
平行四边CAA′C′的面积为（7+$\frac{4}{3}$）×4=$\frac{100}{3}$，
三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$
△ABC扫过的面积为：$\frac{100}{3}$+$\frac{25}{2}$=$\frac{275}{6}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．