Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c过原点O及点A（1，2），过点A的直线交抛物线于另一点B，交y轴于点C，过点A的另一条直线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，且∠ACE=∠AEC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△BCE的面积为3，求点C坐标；
（3）在y轴上存在点F，使四边形AFBD为平行四边形，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）把原点坐标和A（1，2）代入y=x²+bx+c可分别求出c和b的值，从而得到抛物线的解析式是y=x²+x；
（2）连结BE，作AH⊥CE于H，如图，设C（0，t），利用待定系数法可求出直线AC的解析式为y=（2-t）x+t，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+x}\\{y=（2-t）x+t}\end{array}\right.$得B（-t，t²-t），接着利用等腰三角形的性质可表示出CH=t-2，则CE=2（t-2），然后根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2（t-2）•t=3，然后解方程即可得到得到C点坐标；
（3）设C（0，t），则B（-t，t²-t），由于HE=CH=t-2，则OE=4-t，则E（0，4-t），与（2）的方法一样可得到D[t-4，（t-4）²+t-4）]，再连结FD交AB于P，则根据平行四边形的性质得PA=PB，PF=PD，然后利用线段中点坐标公式得到$\frac{0+t-4}{2}$=$\frac{-t+1}{2}$，然后解方程求出t即可得到点B的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过原点O及点A（1，2），
∴c=0，1+b=2
∴b=1，
∴抛物线的解析式是y=x²+x；
（2）连结BE，作AH⊥CE于H，如图，设C（0，t），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（1，2），C（0，t）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{n=t}\end{array}\right.$，即得$\left\{\begin{array}{l}{m=2-t}\\{n=t}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=（2-t）x+t，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+x}\\{y=（2-t）x+t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y={t}^{2}-t}\end{array}\right.$，则B（-t，t²-t），
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE，
∴CH=HE，
∵A（1，2），
∴OH=2，
∴CH=t-2，
∴CE=2（t-2），
∵△BCE的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$•2（t-2）•t=3，
整理得t²-2t-3=0，解得t₁=3，t₂=-1（舍去），
∴C（0，3）；
（3）设C（0，t），则B（-t，t²-t），
∵HE=CH=t-2，
∴OE=2-（t-2）=4-t，
∴E（0，4-t），
设直线AE的解析式为y=kx+4-t，
把A（1，2）代入得k+4-t=2，解得k=t-2，
∴直线AE的解析式为y=（t-2）x+4-t，
解方程x²+x=kx+4-t得x₁=1，x₂=t-4，
∴D[t-4，（t-4）²+t-4）]，
连结FD交AB于P，
∵四边形AFBD为平行四边形，
∴PA=PB，PF=PD，
∴$\frac{0+t-4}{2}$=$\frac{-t+1}{2}$，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴点B的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，能通过解方程组求一次函数与二次函数的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式．