Question

14．已知二次函数y=ax²-2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若tan∠PDB=$\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；
（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=$\frac{5}{4}$即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．

解答 解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，
∵y=ax²-2ax+c，
∴该二次函数的对称轴为：x=1，
∴OE=1
∵OC∥BD，
∴CP：PD=OE：EB，
∴OE：EB=2：3，
∴EB=$\frac{3}{2}$，
∴OB=OE+EB=$\frac{5}{2}$，
∴B（$\frac{5}{2}$，0）
∵A与B关于直线x=1对称，
∴A（-$\frac{1}{2}$，0）；

（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，
令x=1代入y=ax²-2ax+c，
∴y=c-a，
令x=0代入y=ax²-2ax+c，
∴y=c
∴PG=a，
∵CF=OB=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠PDB=$\frac{CF}{FD}$，
∴FD=2，
∵PG∥BD
∴△CPG∽△CDF，
∴$\frac{PG}{FD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{2}{5}$
∴PG=$\frac{4}{5}$，
∴a=$\frac{4}{5}$，
∴y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+c，
把A（-$\frac{1}{2}$，0）代入y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+c，
∴解得：c=-1，
∴该二次函数解析式为：y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x-1．

点评 本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．