Question

1．已知抛物线y=ax²+x+c与x轴交于点A（1，0），B，与y轴交于点C（0，-$\frac{3}{2}$），抛物线的顶点为D，
（1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
（2）设点P为抛物线上的一点，若△PBC为直角三角形，求点P的坐标；
（3）若点Q为x轴上一点，当△OCD与△BCQ相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠DOC=∠CBQ，根据相似三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）将A，C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+1+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0，
解得x₁=1（不符合题意，舍），x₂=-3，
B点坐标为（-3，0），
-$\frac{b}{2a}$=-1，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-2，
即D点坐标为（-1，-2）；
（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$），B（-3，0）C（0，-$\frac{3}{2}$），
PB²=（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²，PC²=m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²，BC²=（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²，
①当∠B=90°时，PB²+BC²=PC²，即（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²+（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²=m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²，
化简，得m²-6m-18=0，解得m₁=6，m₂=-3（不符合题意，舍），即P（6，$\frac{45}{2}$），
②当∠P=90°时，PB²+PC²=BC²，即（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²+m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²=（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²，
   方程无解；
③当∠C=90°时，BC²+PC²=PB²，即（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²=m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²+（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²，
     化简，得3m²-6m=0，
解得m₁=0（不符合题意，舍）m₂=2，即P（2，$\frac{5}{2}$），
综上所述：若△PBC为直角三角形，点P的坐标（6，$\frac{45}{2}$），（2，$\frac{5}{2}$）；
（3）由勾股定理，得
BC=$\sqrt{{3}^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，OD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
tanB=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，tanO=$\frac{1}{2}$，
设BP=x，
△CBP∽△DOC时，$\frac{BC}{DO}$=$\frac{BP}{OC}$，即$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{x}{\frac{1}{2}}$，
解得x=$\frac{\sqrt{65}}{20}$，
P（$\frac{\sqrt{65}-60}{20}$，0）；
△CBP∽△COD，$\frac{BP}{OD}$=$\frac{BC}{OC}$，$\frac{x}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{1}{2}}$，
解得x=$\sqrt{65}$，
P（$\sqrt{65}$-3，0），
综上所述：P点坐标为（$\sqrt{65}$-3，0），（$\frac{\sqrt{65}-60}{20}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用勾股定理的逆定理得出方程，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是利用相似三角形的对应边成比例得出方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏．