Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m-n-1=0，求证：方程①有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y₁=nx+am与y₂=x²+a（n-2m）x+m²-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y₁、y₂的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接运用判别式进行判断；
（2）由已知得n=m-1，代入方程，将方程左边因式分解求x的值即可；
（3）由（2）可知a=m，n=m-1，把x=2代入y₁、y₂中，得y₁=y₂，列方程求m、n的值，再分别求抛物线解析式及直线AB解析式，设平行于y轴的直线L解析式为x=h，代入直线AB和抛物线解析式，求C、D两点纵坐标，表示线段CD，利用二次函数的性质求最大值．

解答：（1）证明：∵方程①的判别式△=（n-2m）²-4（m²-mn）=n²≥0，
∴方程①有两个实数根；

（2）证明：由已知得n=m-1，代入方程①，得
x²-（m+1）x+m²-m（m-1）=0，
整理，得x²-（m+1）x+m=0，即（x-1）（x-m）=0，
解得x₁=1，x₂=m，即方程①有一个实数根为1；

（3）解：设平行于y轴的直线L解析式为x=h，
由（2）可知a=m，n=m-1，把x=2代入y₁、y₂中，得y₁=y₂，
即2（m-1）+m²=4-2m（m+1）+m²-m（m-1），
整理，得m²+m-2=0，解得m=-2或1，n=-3或0，
①当m=-2，n=-3时，y₁=-3x+4，y₂=x²-2x-2，联立

y=-3x+4 y=x2-2x-2

，解得

x=-3 y=13

或

x=2 y=-2

，
∴A（-3，13），B（2，-2），直线AB：y=-3x+4，
∴CD=（-3h+4）-（h²-2h-2）=-h²-h+6，CD最大值为

4×(-1)×6-(-1)2

4×(-1)

=

25

4

；
②当m=1，n=0时，y₁=1，y₂=x²-2x+1，此时抛物线顶点在x轴上，显然CD最大值为1．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，根的判别式．关键是由已知条件，将方程、函数式变形求m、n的值，再表示函数式及线段CD．