Question

在正方形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）．
（1）如图1，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及

BM

CE

的值，并证明你的结论；
（2）如图2，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设正方形ABCD的边长为2a，过点E作EG⊥AF于G，先判断EG是△CDF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EG=

1

2

CD=a，再求出AN=ND=DG=a，从而得到AB=NG，AN=EG，然后利用“边角边”证明△NGE和△BAN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再求出∠1+∠3=90°，从而得到BN⊥NE，根据等腰直角三角形的性质表示出CE，然后求出BM、CE的比值即可；
（2）延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H，先利用“角角边”证明△BMN和△GDN全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=DG，BN=GN，从而得到BN=NE=GN，然后求出∠BEG=90°，根据同角的余角相等求出∠BEC=∠GEH，再求出△CEH是等腰直角三角形，求出∠BCE=∠GHE=135°，然后利用“角边角”证明△ECB和△EHG全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=GE，GH=BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得BN⊥NE，求出CH=BM，再利用等腰直角三角形的性质求出BM、CE的比值即可．

解答：解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE，

BM

CE

=

2

．理由如下：
如图1，设正方形ABCD的边长为2a，过点E作EG⊥AF于G，则EG是△CDF的中位线，
∴EG=

1

2

CD=a，DG=

1

2

DF=

1

2

CD=a，
∵N为MD的中点，
∴AN=ND=a，
∴AB=NG=2a，AN=EG=a，
在△NGE和△BAN中，

AB=NG ∠A=∠EGN=90° AN=EG

，
∴△NGE≌△BAN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠BNE=180°-90°=90°，
∴BN⊥NE；
∵CD=DF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CE=

1

2

CF=

1

2

×

2

×2a=

2

a，
∴

BM

CE

=

2a

2 a

=

2

；

（2）在（1）中得到的两个结论均成立．理由如下：
如图2，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CG，
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN，
∵N为MD的中点，
∴MN=DN，
在△BMN和△GDN中，

∠MBN=∠DGN ∠BMN=∠GDN MN=DN

，
∴△BMN≌△GDN（AAS），
∴MB=DG，BN=GN，
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN，
∴∠BEG=90°，
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°，
∴∠BEC+∠BEH=∠CEH=90°，
∠GEH+∠BEH=∠BEG=90°，
∴∠BEC=∠GEH，
∵DF=DC，∠CDF=90°，
∴∠DCF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CE=HE，
又∵∠BCE=90°+45°=135°，
∠GHE=180°-45°=135°，
∴∠BCE=∠GHE，
在△ECB和△EHG中，

∠BEC=∠GEH CE=HE ∠BCE=∠GHE

，
∴△ECB≌△EHG（ASA），
∴BE=GE，GH=BC，
∵BN=NG，
∴BN⊥NE，
∵CH=CD-DH，
BM=DG=GH-DH=BC-DH，
∴CH=BM，
∴

BM

CE

=

CH

CE

=

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难度较大，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是解题的难点．