Question

20．已知x₁、x₂是x²-x-1=0的两根，求：
（1）x₁²+x₂²  
（2）x₁-x₂．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得x₁+x₂=2，x₁x₂=-3，再利用完全平方公式把x₁²+x₂²，x₁-x₂，变形为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后利用整体代入的方法进行计算．

解答 解：∵x₁、x₂是x²-x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
∴（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3
（2）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=5，
∴x₁-x₂=$±\sqrt{5}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．