Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．

解答：解：
（1）由题知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

解得：

a=-1 b=-2

∴所求抛物线解析式为：
y=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线解析式为：
y=-x²-2x+3，
∴其对称轴为x=

-2

2

=-1，
∴设P点坐标为（-1，a），当x=0时，y=3，
∴C（0，3），M（-1，0）
∴当CP=PM时，（-1）²+（3-a）²=a²，解得a=

5

3

，
∴P点坐标为：P₁（-1，

5

3

）；
∴当CM=PM时，（-1）²+3²=a²，解得a=±

10

，
∴P点坐标为：P₂（-1，

10

）或P₃（-1，-

10

）；
∴当CM=CP时，由勾股定理得：（-1）²+3²=（-1）²+（3-a）²，解得a=6，
∴P点坐标为：P₄（-1，6）
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（-1，

10

）或P（-1，-

10

）
或P（-1，6）或P（-1，

5

3

）；

（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EF=-a²-2a+3，BF=a+3，OF=-a
∴S_{四边形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF
=

1

2

（a+3）•（-a²-2a+3）+

1

2

（-a²-2a+6）•（-a）
=-

3

2

a2-

9

2

a+

9

2

=-

3

2

(a+

3

2

)2+

63

8

∴当a=-

3

2

时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为

63

8

．
此时，点E坐标为（-

3

2

，

15

4

）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．