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    已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．

    （1）求一次函数与二次函数的解析式；

    （2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

    （3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

     

     

     
     

    【答案】

    （1）把代入得，

    一次函数的解析式为；

    二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，

    设二次函数解析式为，

    把代入得，

    二次函数解析式为．  

     

    （2）由

    解得或，

    ，

    过点分别作直线的垂线，垂足为，

    则，

    直角梯形的中位线长为，

    过作垂直于直线于点，则，，

    ，

    的长等于中点到直线的距离的2倍，

    以为直径的圆与直线相切．

    （3）平移后二次函数解析式为，

    令，得，，，

    过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，

    要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，

    此时，半径为2，面积为，

    设圆心为中点为，连，则，

    在三角形中，，

    ，而，，

    当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．

    说明：本答案解答题中解法只给出了1种或2种，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数．

    【解析】（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；

    （2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可；

    （3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）．

     

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