Question

15．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：△ACF≌△ACG；
（2）若∠B=60°，AF=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，根据圆周角定理得到∠B=∠ADC，∠ACD=90°，由CG⊥AD，得到∠CGD=90°，推出∠ACG=∠B，根据BC是⊙O的切线，得到∠B=∠ACF，于是得到∠ACF=∠ACG，由AF⊥CF，得到∠AFC=∠AGC=90°，于是得到结论；
（2）结合图形，可以把阴影部分的面积转化为三角形COE的面积减去扇形OCD的面积．根据30°的直角三角形的性质即可求得OC、CE的长，从而求解．

解答 （1）证明：连接CD，
∴∠B=∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵CG⊥AD，
∴∠CGD=90°，
∴∠ACG+∠DCG=∠DCG+∠ADC，
∴∠ADC=∠ACG，
∴∠ACG=∠B，
∵EC是⊙O的切线，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACF=∠ACG，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC=∠AGC=90°，
在△ACF与△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠AGC}\\{∠ACF=∠ACF}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACG；

（2）解：连接OC，
在Rt△ACF中，∠ACF=∠B=60°，AF=4，
∴∠FAC=30°，
∴FC=$\frac{1}{2}$AC，
设FC=x，则AC=2x，
（2x）²-x²=（4）²，
解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△OCG中，∠COG=60°，CG=CF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，得OC=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{3}$．
在Rt△CEO中，OE=$\frac{16}{3}$．
于是S_阴影=S_△CEO-S_扇形COD=$\frac{1}{2}$OE•CG-$\frac{60π•O{C}^{2}}{360}$=$\frac{32\sqrt{3}}{9}$-$\frac{32π}{27}$．

点评 本题考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30°的直角三角形的性质以及三角形和扇形的面积公式．