Question

【题目】如图，菱形ABCD对角线交于点E，△ABD的外接圆⊙O交AC于点F．若FB=FC．

（1）证明：=FEFA；

（2）证明：BC是⊙O的切线；

（3）若EF=2，求出四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）首先根据菱形的性质和圆周角定理的推论得出△BEF∽△ABF，则有，即，又因为FB=FC，则结论可证；

（2）首先根据等腰三角形的性质和等量代换得出∠ABO=∠FBC，又因为∠ABO+∠FBO=∠ABF=90°，则有∠CBF+∠FBO =90°，进而可证明结论；

（3）首先根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得出∠BAF=30°，∠BFA =60°，然后解直角三角形可求出AE,BE的长度，进而可求AC,BD的长度，最后利用菱形的面积公式即可求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC垂直平分BD，

∵AF为⊙O的直径．

∴∠ABF=90°．

，

∴△BEF∽△ABF．

∴．

∴．

∵FB=FC，

∴=FEFA；

（2）证明：连接OB，

∵OB=OA，FB=FC，BA=BC，

∴∠OBA=∠BAC，∠FBC=∠FCB，∠BAC=∠BCA．

∴∠ABO=∠FBC．

∵∠ABO+∠FBO=∠ABF=90°．

∴∠CBF+∠FBO =90°．

∴OB⊥BC．

∴BC是⊙O的切线；

（3）解：由（2）得∠BAC=∠BCA=∠FBC．

∴∠BFA=∠FBC+∠FCB=2∠FCB=2∠BAC．

∵∠BAF+∠BFA=180°-∠ABF=90°．

∴3∠BAF=90°．

∴∠BAF=30°．

∴∠BFA=2∠BAF=60°．

在Rt△BFE中，BE=EFtan∠BFE=2=．

在Rt△BAE中，AE=．

∴AC=2AE=12，BD=2BE=．

∴四边形ABCD的面积S=．